医院开具的原始发票遗失，保险公司不予理赔，该怎么办？

无办法。因为发票是法律认可的划费依据。

社保医保报销涉及到医院结算单原件，大部分商业保险也是如此要求。住院结算单只能开出一份，遗失不补，这既是财务制度规定，也是防止当事人重复报销的手段之一。这种情况下，可以研究一下合同细则，部分商业保险是认可复印件的（并不是全部都认可），该种情况下可以要求医院复制发票存根作为报销依据。